Obtención de razones trigonométricas a partir de otras (examen de trigonometría)

Sabiendo que tg 235º = 1.43, calcula:

1. sen 145º
2. cos 125º
3. tan 1135º
4. cos 215º

Razonamiento: en este caso, como el ángulo de referencia (235º) no está en el primer cuadrante, no hace falta buscar equivalencias con dicho cuadrante, sino equivalencias entre ese ángulo y los proporcionados por el problema. Para eso, escribimos cada ángulo como suma o diferencia de ángulos múltiplos de 90º. En concreto:

     235º=180º+55º

     235º=270º-35º

Por tanto, tenemos que expresar los otros ángulos también como sumas o restas de esas cuñas de 55º o 35º (y ángulos múltiplos de 90º). Con eso y la ayuda de un sencillo gráfico (en el que lo importante es saber si cada cuña es mayor o menor que 45º), podremos determinar fácilmente las razones trigonométricas pedidas.

1. sen 145º

La descomposición buscada es:

145º=180º-35º

Gráficamente esto significa que la distancia PP1 es igual a la distancia QQ1 (observa que las cuñas azul y verde son iguales, ya que uno de sus ángulos es de 35º):

PP1=QQ1 

De las definiciones de cos y sen, es fácil ver también que:

cos 235º = -PP1 <0

sen 145º = QQ1 >0

Por tanto, la razón buscada es: sen 145º = - cos 235º

Sin embargo, sólo conocemos la tangente de ese ángulo. ¿Cómo obtener el coseno a partir de la tangente?: mediante la relación fundamental:

El signo se determina en función del cuadrante (en este caso, cos 235º<0, por lo que sen 145º >0). Conocida la tangente, podemos calcular el cos 235º y, por tanto, el sen 145º.

2. cos 125º

La descomposición buscada es: 

125º = 180º - 55º

Gráficamente esto significa que:

cos 125º = cos 235 º

Observa que las cuñas verde y rosa son iguales (y el cos buscado corresponde al segmento OG, con signo negativo):

3. tan 1135º

La descomposición buscada es:

1135º = 3*360º + 55º

Por tanto::

tan 1135º = tan 55º = tan (180º + 55º)= 1.43

4. cos 215º

La descomposición es:

215º= 180º+35º

Gráficamente, esto significa que los segmentos OP1 y OS1 son iguales (las cuñas verde y roja son iguales, y el coseno buscado es el cateto mayor de esas cuñas, que está resaltado):

Teniendo en cuenta el signo de los cosenos:

 cos 215º = - OS1 <0

 sen 235º = - OP1 <0

Tenemos que cos 215º = sen 235º. Puesto que en el apartado 1 se ha calculado el cos 235º, aplicando la relación fundamental, podemos obtener el sen 235º, que es el coseno buscado.